谈补码

这是一篇从早期博客迁移来的 PDF 文章。原文围绕“补码是什么”展开，不满足于把补码记成“反码加一”，而是试图从有限位宽整数、溢出截断和负数编码的角度解释补码为什么会被这样定义。

长摘要：

文章先用一个历史化的视角说明补码的动机：如果负数也能被编码成某种二进制形式，计算机就可以用同一个加法器完成加法和减法，而不必再单独设计减法器。在有限位宽下，溢出会丢弃高位，这使得一个数和它的补码相加后可以得到被截断为零的结果；由此可以推导出“补码等于反码加一”。

接着，文章讨论有符号整数的符号位为什么通常用 0 表示非负、1 表示负数。关键点在于把最高位解释为负权重之后，补码到十进制的转换可以写成统一的公式；符号位不只是一个标记，而是实际参与数值计算的一位。

最后，文章用补码解释几个常见但容易被机械记忆的问题：为什么 32 位有符号整数范围是 [-2^31, 2^31 - 1]，为什么最小值的绝对值比最大值大一，为什么整数扩展分为零扩展和符号扩展，以及为什么右移需要区分逻辑右移和算术右移。这些现象都可以回到同一个原则：扩展或移位后，二进制序列按补码解释出来的数值应当保持一致。